Trigonometrie Beispiele

\frac{{cot}^{2} (x)}{csc (x)} = csc (x) - sin (x)

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

\frac{{cot}^{2} (x)}{csc (x)}

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)}$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

\frac{{csc}^{2} (x) - 1}{csc (x)}

$\frac{\csc^{2} (x) - 1}{\csc (x)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf

csc (x)

$\csc (x)$ an.

\frac{{(\frac{1}{sin (x)})}^{2} - 1}{csc (x)}

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1}{\csc (x)}$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf

csc (x)

$\csc (x)$ an.

\frac{{(\frac{1}{sin (x)})}^{2} - 1}{\frac{1}{sin (x)}}

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ an.

\frac{\frac{1^{2}}{{sin}^{2} (x)} - 1}{\frac{1}{sin (x)}}

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

\frac{\frac{1^{2}}{{sin}^{2} (x)} - 1}{\frac{1}{sin (x)}}

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

(\frac{1^{2}}{{sin (x)}^{2}} - 1) sin (x)

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \sin (x)$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

(\frac{1}{{sin (x)}^{2}} - 1) sin (x)

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \sin (x)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{1}{{sin (x)}^{2}} sin (x) - 1 sin (x)

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \sin (x) - 1 \sin (x)$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

sin (x)

$\sin (x)$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere

sin (x)

$\sin (x)$ aus

{sin (x)}^{2}

${\sin (x)}^{2}$ heraus.

\frac{1}{sin (x) sin (x)} sin (x) - 1 sin (x)

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) - 1 \sin (x)$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) - 1 \sin (x)$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (x)} - 1 \sin (x)$

Schritt 4.5

Schreibe

$- 1 \sin (x)$ als

$- \sin (x)$ um.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 5

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\csc (x) - \sin (x)$

Schritt 6

Wende die Kehrwertfunktion auf

$\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x)} = \csc (x) - \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung