Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x) \cdot \sin (x)}{\sec^{2} (x) - 1} = \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x) \cdot \sin (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan (x) \cdot \sin (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x)}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x)}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \sin (x)) \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \sin (x)) \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \sin (x)) \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \sin (x) \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (x)}^{2}$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x) \cdot \sin (x)}{\sec^{2} (x) - 1} = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung