Trigonometrie Beispiele

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$ als $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ um.

$(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $5 \sin (x) (5 \sin (x))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin (x) \sin (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 {\sin (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 2.3.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $25 \sin (x) \cos (x)$ um.

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.3.3

Addiere $25 \cos (x) \sin (x)$ und $25 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.4

Bewege $25 \cos^{2} (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.5

Faktorisiere $25$ aus $25 \sin^{2} (x)$ heraus.

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.6

Faktorisiere $25$ aus $25 \cos^{2} (x)$ heraus.

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.7

Faktorisiere $25$ aus $25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$25 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$25 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $25$ aus $25 + 50 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$25 (1) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $25$ aus $50 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$ heraus.

$25 (1 + 2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 3.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$25 (1 + \sin (x) (2 \cos (x)))$

Schritt 3.3

Entferne die Klammern.

$25 (1 + \sin (x) \cdot 2 \cos (x))$

Schritt 3.4

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$25 (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$25 (1 + \sin (2 x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 \cdot 1 + 25 \sin (2 x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$25 + 25 \sin (2 x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$ ist eine Identitätsgleichung