Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))$ um.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung