Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Separiere Brüche.

$\frac{1}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\tan (x)} (1 \cos (x))$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \cos (x)$

Schritt 2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cos (x)$

Schritt 2.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.7

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 2.9

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Schritt 2.9.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.9.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.9.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Schritt 2.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\csc (x) - \sin (x)$

Schritt 5

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Schritt 6

Schreibe $- \sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1}$

Schritt 7

Addiere Brüche.

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Schritt 7.1

Um $\frac{- \sin (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{- \sin (x)}{1}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} = \csc (x) - \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung