Trigonometrie Beispiele

$\cos (105)$

Schritt 1

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multipliziere mit $\frac{π}{180 °}$ , da ein Vollkreis $360 °$ oder $2 π$ rad ist.

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (105)$ ist $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (75) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \cos (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8

Vereinfache $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{180}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{180 \cdot 4}$ Radiant

Schritt 3.2

Mutltipliziere $180$ mit $4$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{720}$ Radiant