Trigonometrie Beispiele

$\sec^{4} (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec^{4} (x)$ als ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Schritt 1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) = 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x)$

Schritt 1.4

Schreibe das Polynom neu.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Schritt 1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \sec^{2} (x)$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

${(\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec (x)$ und $b = \tan (x)$ .

${((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))}^{2}$

Schritt 3

Wende die Produktregel auf $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ an.

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2} {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$