Trigonometrie Beispiele

$(\sqrt{3}, 1)$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(1)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{3 + 1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$r = \sqrt{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \sqrt{2^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 2$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 2$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 2$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ist $θ = 30 °$ .

$r = 2$

$θ = 30 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(2, 30 °)$