Trigonometrie Beispiele

$\sin (3 θ) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 θ = \arcsin (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$3 θ = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = - \frac{π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = - \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{3 π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{3 π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$θ = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (3 θ)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 7.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$\frac{3 (π)}{6}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 7.7

Liste die neuen Winkel auf.

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (3 θ)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$