Trigonometrie Beispiele

$y = \sec (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \sec (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1$ auftritt.

$2 x + \frac{3 π}{4} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $\frac{3 π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{π}{2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{- π \cdot 2 - 3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{- 2 π - 3 π}{4}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $3 π$ von $- 2 π$ .

$2 x = \frac{- 5 π}{4}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x = - \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{5 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{5 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 π}{4}$ .

$x = - \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{5 π}{8}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $2 x + \frac{3 π}{4}$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$2 x + \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $\frac{3 π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{3 π}{2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{3 π \cdot 2 - 3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 x = \frac{6 π - 3 π}{4}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $3 π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \sec (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1$ tritt auf bei $(- \frac{5 π}{8}, \frac{3 π}{8})$ , wobei $- \frac{5 π}{8}$ und $\frac{3 π}{8}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{5 π}{8}, \frac{3 π}{8})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.6.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1$ treten auf bei $- \frac{5 π}{8}$ , $\frac{3 π}{8}$ und jedem $x = - \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{3 π}{4}$

$d = 1$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $\sec (2 x + \frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.1.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere $- \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 π}{4}$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{3 π}{8}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $π$

Phasenverschiebung: $- \frac{3 π}{8}$ ( $\frac{3 π}{8}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $π$

Phasenverschiebung: $- \frac{3 π}{8}$ ( $\frac{3 π}{8}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 8