Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ und $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ankathete : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Schritt 2.9.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.9.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.9.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70710678$