Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 7

Vereinfache Nenner.

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Schritt 7.1

Multipliziere $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Schritt 8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ heraus.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec (x) + \tan (x)$

Schritt 11

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 11.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Schritt 11.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$ ist eine Identitätsgleichung