Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x)$

Schritt 2

Schreibe $\tan (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1}$

Schritt 3

Addiere Brüche.

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Schritt 3.1

Um $\frac{\tan (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\tan (x)}{1}$ mit $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Schritt 4

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Ordne Terme um.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1}{\tan (x)}$

Schritt 5.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Schritt 6

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 6.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan (x)}$

Schritt 6.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7.2

Kombinieren.

$\frac{1^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und ${\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $1^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 7.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ als $\frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$ um.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung