Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Addiere Brüche.

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Schritt 3.1

Um $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Um $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ als $\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung