Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (x) - \csc (x)}{\sec (x) + \csc (x)} = \frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (x) - \csc (x)}{\sec (x) + \csc (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \csc (x)}{\sec (x) + \csc (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}{\sec (x) + \csc (x)}$

Schritt 2.3

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x)}$

Schritt 2.4

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}}$ mit $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) (\sin (x)) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ als $\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1}$ um.

$\frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (x) - \csc (x)}{\sec (x) + \csc (x)} = \frac{\tan (x) - 1}{\tan (x) + 1}$ ist eine Identitätsgleichung