Trigonometrie Beispiele

$\tan (105 °)$

Schritt 1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \tan (75)$

Schritt 2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \tan (30 + 45)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 4

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Schritt 7

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

Schritt 8.1.2

Kombinieren.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 8.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 8.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 8.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.9

Vereinfache.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.10.1

Stelle die Terme um.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 8.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 8.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 8.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Schritt 8.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Schritt 8.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Schritt 8.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 8.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 8.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 8.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 8.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 8.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 8.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 8.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Schritt 8.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Schritt 8.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 3.73205080 \dots$