Trigonometrie Beispiele

$(1 - \cos (x)) (\csc (x) + \cot (x))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x))$

Schritt 1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.3

Addiere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Schritt 6.2.4

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x)$