Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 1

Quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ als $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ um.

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.3.3

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.4

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 2.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Schritt 3.5

Berechne den Exponenten.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (2 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

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Schritt 9.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 9.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ und Auflösen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$