Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sin (x)$ .

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}$ durch $\tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{\tan (x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{\tan (x)}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{\tan (x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.6

Dividiere $\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3}$ durch $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.3.7.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sqrt{3} \sin (x)$ heraus.

$1 = \frac{\sin (x) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{\sin (x) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (x)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\cos (x)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Schritt 3

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sqrt{3}$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Faktorisiere $2 \sqrt{3}$ aus $2 \sqrt{3} \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\cos (x) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 9

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 9.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$