Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2} \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sqrt{2} \cos^{2} (x) + \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\sqrt{2} \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{1} (x)$ heraus.

$\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sqrt{2} \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sqrt{2} \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2} \cos (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = - 1$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \cos (x) = - 1$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.2.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.2.2.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (\sqrt{2} \cos (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$