Trigonometrie Beispiele

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $8 \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4 \tan (x)$ aus $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4 \tan (x)$ aus $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ heraus.

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 \tan (x)$ aus $- 8 \tan (x)$ heraus.

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4 \tan (x)$ aus $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ heraus.

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\sec^{2} (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sec^{2} (x) - 2$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec^{2} (x) = 2$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.5

Löse in $\sec (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Schritt 5.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.5.2.1

Der genau Wert von $arcsec (\sqrt{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.5.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.2.5.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.5.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 5.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.5.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.6

Löse in $\sec (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.6.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 5.2.6.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 5.2.6.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.6.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 5.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$