Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Schritt 1

Quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ als $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ um.

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.2

Multipliziere $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Füge Klammern hinzu.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Stelle $\cos (x)$ und $2 \sin (x)$ um.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.5

Füge Klammern hinzu.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.6

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.8

Multipliziere $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Schritt 2.3.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.8.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.8.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 \sin (2 x)$ und $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.4

Bewege $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 \cos^{2} (x)$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.8

Ordne Terme um.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Schritt 3

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Schritt 3.5

Berechne den Exponenten.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (2 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 x) = 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 x) = 2$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 10.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 10.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 10.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Schritt 10.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$