Trigonometrie Beispiele

$\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ , $(\frac{x}{2}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{2}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{2}$ mit $\frac{2 - x}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 + x) (2 - x)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}$

Schritt 6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Schritt 6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}$

Schritt 7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}$

Schritt 10

Kombiniere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$