Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) - \cos (x) = 1$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan^{-1} (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sin (x - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π + π}{4}$

Schritt 9.3

Addiere $π$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 11.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 11.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 11.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 11.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π + π}{4}$

Schritt 11.2.3

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Schritt 11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 π}{4}$

Schritt 11.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$