Trigonometrie Beispiele

$\tan (345)$

Schritt 1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$- \tan (15)$

Schritt 2

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \tan (45 - 30)$

Schritt 3

Separiere die Negation.

$- \tan (45 - (30))$

Schritt 4

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$- \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$- \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 6

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Schritt 7

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Schritt 8

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Schritt 9.1.2

Kombinieren.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 9.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 9.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 9.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.9

Vereinfache.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.10.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.10.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 9.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 9.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 9.11

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.12

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.13.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 9.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.13.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.13.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.13.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 9.13.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 9.13.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 9.13.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.13.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 9.13.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 9.13.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.13.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.13.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.13.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 9.13.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 9.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.13.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 9.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 9.14.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 9.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 9.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 9.14.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Schritt 9.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 9.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Schritt 9.17

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 9.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Schritt 9.17.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 0.26794919 \dots$