Trigonometrie Beispiele

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $3 \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 4 \sin^{3} (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ heraus.

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Schritt 7.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Schritt 7.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4 \sin (x)$ von $3 \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 8

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

Schritt 9.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Schritt 9.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ heraus.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ heraus.

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ heraus.

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.7

Multipliziere $(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Schritt 9.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 9.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 9.8.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 (- \sin (x))$ und $4 \sin (x) \cdot 1$ neu an.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 9.8.2

Addiere $- 1 \cdot 4 \sin (x)$ und $1 \cdot 4 \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 9.8.3

Addiere $4 \cdot 1$ und $0$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 9.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 9.9.2

Multipliziere $4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 9.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

Schritt 9.9.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Schritt 9.9.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Schritt 9.9.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

Schritt 9.9.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

Schritt 9.10

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

Schritt 9.11

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

Schritt 9.12

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

Schritt 9.13

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

Schritt 9.14

Faktorisiere.

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Schritt 9.14.1

Schreibe $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 9.14.1.1

Schreibe $4 \cos^{2} (x)$ als ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

Schritt 9.14.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

Schritt 9.14.1.3

Stelle $- 1^{2}$ und ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

Schritt 9.14.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 \cos (x)$ und $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

Schritt 9.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.2

Multipliziere $2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Schritt 13.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 13.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

Schritt 13.1.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

Schritt 13.1.7

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2 \sin (x) \cos (x)$ von $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

Schritt 13.3

Addiere $4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ und $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Schritt 14

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Schritt 15.1.3

Multipliziere $\sin (x)$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.3.1

Bewege ${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

Schritt 15.1.3.2

Mutltipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 15.1.3.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

Schritt 15.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

Schritt 15.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Schritt 15.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Schritt 16

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (3 x)$

Schritt 17

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ ist eine Identitätsgleichung