Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 2.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.4.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.4.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 2.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 2.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung