Trigonometrie Beispiele

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x))}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ als $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ um.

$(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Multipliziere $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.1.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.3

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.3.3.1.4

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Schritt 2.3.3.1.4.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Schritt 2.3.3.1.4.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.3.1.4.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ von $- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \cos (x) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (x)$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 - \cos (x))}^{2}$ und $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung