Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)} = \tan (x) + \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{1}{\cot (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\tan (x) + \cot (x)$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)$

Schritt 7.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8

Addiere Brüche.

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Schritt 8.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.2

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 8.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)} = \tan (x) + \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung