Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 - \sin (x)} - 1$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Schritt 4.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Schritt 4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\sin (x)}$ als $\csc (x)$ um.

$\csc (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung