Trigonometrie Beispiele

$\cos (75)$

Schritt 1

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multipliziere mit $\frac{π}{180 °}$ , da ein Vollkreis $360 °$ oder $2 π$ rad ist.

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (75)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ Radiant

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{π}{180}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) π}{4 \cdot 180}$ Radiant

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $180$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) π}{720}$ Radiant