Trigonometrie Beispiele

$1 - \sqrt{3} i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 1$ und $b = - 1 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{3 + 1^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{3 + 1}$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{3}}{1})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 1 \sqrt{3}}{1}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{3}$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (- \frac{π}{3}) + i \sin (- \frac{π}{3}))$