Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\sec (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sec (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{\sec (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - (1 - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - (1 - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- - {\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.1.6

Addiere $0$ und ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\cos (x)}^{2}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als $\cot (x)$ um.

$\cot (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung