Trigonometrie Beispiele

$\sin (75) + \sin (15)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (30 + 45) + \sin (15)$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45) + \sin (15)$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45) + \sin (15)$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (15)$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (15)$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - 30)$

Schritt 1.2.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45 - (30))$

Schritt 1.2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Schritt 1.2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{0 + \sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 2.4

Addiere $\sqrt{6}$ und $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{4}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6})}{4}$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Dezimalform:

$1.22474487 \dots$