Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) - \cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan^{-1} (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sin (x - \frac{π}{4})$ durch $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin^{-1} (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Schritt 9.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 11.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 11.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 11.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Schritt 11.2.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$