Trigonometrie Beispiele

$1 - \cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = \frac{1}{2} - 1$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \cos (x) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \cos (x) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \cos (x) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \cos (x) = \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $\frac{1}{2}$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$