Trigonometrie Beispiele

\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)$

Schritt 1

Subtrahiere

2 \csc (x)

$2 \csc (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere

\csc (x)

$\csc (x)$ aus

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere

\csc (x)

$\csc (x)$ aus

\sec (x) \csc (x)

$\sec (x) \csc (x)$ heraus.

\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0

$\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere

\csc (x)

$\csc (x)$ aus

- 2 \csc (x)

$- 2 \csc (x)$ heraus.

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere

\csc (x)

$\csc (x)$ aus

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2$ heraus.

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Schritt 4

Setze

\csc (x)

$\csc (x)$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

\csc (x)

$\csc (x)$ gleich

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Schritt 4.2

Der Wertebereich des Kosekans ist

y \leq - 1

$y \leq - 1$ und

y \geq 1

$y \geq 1$ . Da

0

$0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Setze

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ gleich

0

$0$ .

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

\sec (x) = 2

$\sec (x) = 2$

Schritt 5.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um

x

$x$ aus dem Sekans zu ziehen.

x = arcsec (2)

$x = arcsec (2)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von

arcsec (2)

$arcsec (2)$ ist

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.2.5.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 5.2.5.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von

\sec (x)

$\sec (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion

\sec (x)

$\sec (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$ wahr machen.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$