Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Um $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2

Um $- \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ um.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) (1 + \sin (x))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) (- (1 + \sin (x)))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) (- (1 + \sin (x)))$ heraus.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - (1 + \sin (x)))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - 1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\sin (x) (0 - \sin (x) - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x) - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $\sin (x)$ von $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.7.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$