Trigonometrie Beispiele

\cot (\frac{π}{12})

$\cot (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Teile

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

\cot (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})

$\cot (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

\frac{\cot (\frac{π}{4}) \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}

$\frac{\cot (\frac{π}{4}) \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Schritt 3

Der genau Wert von

\cot (\frac{π}{4})

$\cot (\frac{π}{4})$ ist

1

$1$ .

\frac{1 \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}

$\frac{1 \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Der genau Wert von

\cot (\frac{π}{6})

$\cot (\frac{π}{6})$ ist

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Schritt 5

Der genau Wert von

\cot (\frac{π}{6})

$\cot (\frac{π}{6})$ ist

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \cot (\frac{π}{4})}

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \cot (\frac{π}{4})}$

Schritt 6

Der genau Wert von

\cot (\frac{π}{4})

$\cot (\frac{π}{4})$ ist

1

$1$ .

\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache

\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ mit

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ mit

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Schritt 7.5

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Schritt 7.6

Vereinfache.

\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Schritt 7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1

Potenziere

\sqrt{3} + 1

$\sqrt{3} + 1$ mit

1

$1$ .

\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2}

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Schritt 7.7.2

Potenziere

\sqrt{3} + 1

$\sqrt{3} + 1$ mit

1

$1$ .

\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2}

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2}$

Schritt 7.7.3

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2}

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 7.7.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}$

\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}$

Schritt 7.8

Vereinfache

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 7.8.1

Schreibe

{(\sqrt{3} + 1)}^{2}

${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ als

(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ um.

\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Schritt 7.8.2

Multipliziere

(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Schritt 7.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Schritt 7.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.8.3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.3

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

\frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.5

Mutltipliziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.6

Mutltipliziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 7.8.3.1.7

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Schritt 7.8.3.2

Addiere

3

$3$ und

1

$1$ .

\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.8.3.3

Addiere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ und

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von

4 + 2 \sqrt{3}

$4 + 2 \sqrt{3}$ und

2

$2$ .

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Schritt 7.9.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.9.2

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ heraus.

\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.9.3

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 (2) + 2 (\sqrt{3})

$2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.9.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.9.4.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 7.9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.9.4.3

Forme den Ausdruck um.

\frac{2 + \sqrt{3}}{1}

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 7.9.4.4

Dividiere

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$ durch

1

$1$ .

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$

Dezimalform:

3.73205080 \dots

$3.73205080 \dots$