Trigonometrie Beispiele

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin^{2} (x)$ und $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Subtrahiere ${\cos (x)}^{2}$ von $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - 2 (1 - \sin^{2} (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$1 - 2 + 2 {\sin (x)}^{2}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 7

Schreibe $- 1 + 2 \sin^{2} (x)$ als $2 \sin^{2} (x) - 1$ um.

$2 \sin^{2} (x) - 1$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$ ist eine Identitätsgleichung