Trigonometrie Beispiele

${(1 + i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

Schritt 2.1.18

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.18.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Schritt 2.1.18.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

Schritt 2.1.18.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 9$ und $5$ .

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $10 i$ von $5 i$ .

$- 4 - 5 i + i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 5 i$ und $i$ .

$- 4 - 4 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4$ und $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Schritt 6.3

Addiere $16$ und $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Schritt 6.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4})$

Schritt 8

Da der inverse Tangens von $\frac{- 4}{- 4}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{4}$ und $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$