Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{2}, 0)$ und $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ankathete : $\frac{1}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.3.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254$