Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x) = \tan (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(\tan^{2} (x) + 1) \cot (x) - \cot (x)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1) \cot (x) - \cot (x)$

Schritt 3.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x)$

Schritt 3.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.2

Kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${\sin (x)}^{2}$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1.4.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\sin (x)}^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) \cos (x))}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) \cos (x))}{\sin (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) \cos (x))}{\sin (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{0}{\sin (x)}$

Schritt 4.4

Dividiere $0$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0$

Schritt 4.5

Addiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $0$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als $\tan (x)$ um.

$\tan (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x) = \tan (x)$ ist eine Identitätsgleichung