Trigonometrie Beispiele

$\sin (- \frac{π}{8})$

Schritt 1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (\frac{15 π}{8})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (\frac{15 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{15 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}$

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 2.4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 2.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.38268343 \dots$