Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $b = \sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x))$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \sin (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x))$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$(\tan (x) + \sin (x)) (\tan (x) - \sin (x))$

Schritt 6

Multipliziere $(\tan (x) + \sin (x)) (\tan (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\tan (x) - \sin (x))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\tan (x) - \sin (x))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 7.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \tan (x)$ neu an.

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.1.2

Addiere $- \sin (x) \tan (x)$ und $\sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.1.3

Addiere $\tan (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 7.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$