Trigonometrie Beispiele

$\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 6) (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 6) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x - 5) - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x - 6 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 5 x$ .

$\ln (x^{2} - 11 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 11 x + 30 = 16 - 2 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 11 x + 30 + 2 x = 16$

Schritt 3.1.2

Addiere $- 11 x$ und $2 x$ .

$x^{2} - 9 x + 30 = 16$

Schritt 3.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 9 x + 30 - 16 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $16$ von $30$ .

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 7, - 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$ nicht erfüllen.

$x = 7$