Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x) = \sec (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 2.2

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.2

Um $\cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos (x)}$ als $\sec (x)$ um.

$\sec (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x) = \sec (x)$ ist eine Identitätsgleichung