Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Addiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ um.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $\sin (x) \cos (x)$ und $\sin (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 3.3.1

Stelle $\sin (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $\sin (x) \cos (x)$ von $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 3.4

Addiere $2 \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x)$ und ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{2}{\sin (x)}$ als $2 \csc (x)$ um.

$2 \csc (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung