Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{π}{12}$ in $\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ aufgeteilt werden.

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Schritt 2

Wende die Differenzformel für den Tangens an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{3}$ heraus.

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.5

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 8.6

Potenziere $1 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Schritt 8.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 8.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Schritt 9

Schreibe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 10

Multipliziere $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 11.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 11.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Schritt 11.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Schritt 11.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Schritt 11.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Schritt 11.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Schritt 11.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Schritt 11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Schritt 11.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Schritt 11.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Schritt 12.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Schritt 13

Schreibe $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ als $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ um.

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Schritt 14

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Schritt 16

Multipliziere $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Schritt 17

Wende das Distributivgesetz an.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Schritt 18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$