Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2.3

Um $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.6.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.4

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.6.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x) + 1$ und $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$ ist eine Identitätsgleichung